При анализе нелинейной цепи данным методом изменяющиеся по сложному закону переменные величины заменяются их первыми гармониками, что позволяет использовать векторные диаграммы.

Основные этапы расчета:

-строится график зависимости  нелинейного элемента  для первых гармоник;

-произвольно задаются амплитудой одной из переменных, например , связанной с нелинейным элементом, и по характеристике  последнего находят другую переменную  , определяющую режим работы нелинейного элемента, после чего, принимая все величины синусоидально изменяющимися во времени, на основании построения векторной диаграммы определяется амплитуда первой гармоники  переменной на входе цепи;

-путем построения ряда векторных диаграмм для различных значений  строится зависимость , по которой для заданного значения  определяется действительная величина , на основании чего проводится окончательный анализ цепи.

Графический метод с использованием характеристик
для действующих значений (метод эквивалентных синусоид)

При анализе нелинейной цепи данным методом реальные несинусоидально изменяющиеся переменные заменяются эквивалентными им синусоидальными величинами, действующие значения которых равны действующим значениям исходных несинусоидальных переменных. Кроме того, активная мощность, определяемая с помощью эквивалентных синусоидальных величин, должна быть равна активной мощности в цепи с реальной (несинусоидальной) формой переменных. Используемый прием перехода к синусоидальным величинам определяет другое название метода - метод эквивалентных синусоид.

Строго говоря, характеристика нелинейного элемента для действующих значений зависит от формы переменных, определяющих эту характеристику. Однако в первом приближении, особенно при качественном анализе, этим фактом обычно пренебрегают, считая характеристику неизменной для различных форм переменных. Указанное ограничивает возможности применения метода для цепей, где высшие гармоники играют существенную роль, например, для цепей с резонансными явлениями на высших гармониках.

Переход к эквивалентным синусоидам позволяет использовать при анализе цепей векторные диаграммы. В связи с этим этапы расчета данным методом в общем случае совпадают с рассмотренными в предыдущем разделе.

Метод расчета с использованием характеристик для действующих значений широко применяется для исследования явлений в цепях, содержащих нелинейную катушку индуктивности и линейный конденсатор (феррорезонансных цепях), или цепях с линейной катушкой индуктивности и нелинейным конденсатором. Кроме того, данный метод применяется для анализа цепей с инерционными нелинейными элементами, у которых постоянная времени, характеризующая их инерционные свойства, много больше периода переменного напряжения (тока) источника питания. В этом случае в установившихся режимах инерционные нелинейные элементы можно рассматривать как линейные с постоянными параметрами (сопротивлением, индуктивностью, емкостью). При этом сами параметры определяются по характеристикам нелинейных элементов для действующих значений и для различных величин последних являются разными.

Феррорезонансные явления

Различают феррорезонанс в последовательной цепи (феррорезонанс напряжений) и феррорезонанс в параллельной цепи (феррорезонанс токов).

Рассмотрим первый из них на основе схемы на рис. 1. Для этого строим (см. рис. 2) прямую зависимости , определяемую соотношением

.

(1)

Далее для двух значений сопротивлений   ( и ) строим графики зависимостей : для -согласно соотношению  (кривая  на рис. 2); для  -согласно выражению   (кривая  на рис. 2).

Точка пересечения кривой  с прямой  соответствует феррорезонансу напряжений. Феррорезонансом напряжений называется такой режим работы цепи, содержащей последовательно соединенные нелинейную катушку индуктивности и конденсатор, при котором первая гармоника тока в цепи совпадает по фазе с синусоидальным питающим напряжением. В соответствии с данным определением при рассмотрении реальной катушки действительная вольт-амперная характеристика (ВАХ) цепи, даже при значении сопротивления последовательного включаемого резистора , в отличие от теоретической (кривая  на рис. 2) не касается оси абсцисс и смещается влево, что объясняется наличием высших гармоник тока, а также потерями в сердечнике катушки. С учетом последнего напряжение на катушке индуктивности , где  -сопротивление, характеризующее потери в сердечнике, в режиме феррорезонанса  не равно напряжению на конденсаторе.

            Из построенных результирующих ВАХ цепи видно, что при увеличении питающего напряжения в цепи имеет место скачок тока: для кривой -из точки 1 в точку 2, для кривой -из точки 3 в точку 4. Аналогично имеет место скачок тока при снижении питающего напряжения: для кривой -из точки 5 в точку 0; для кривой -из точки 6 в точку 7. Явление скачкообразного изменения тока при изменении входного напряжения называется триггерным эффектом в последовательной феррорезонансной цепи.

В соответствии с уравнением

(2)

на рис. 3 и 4 построены векторные диаграммы для двух произвольных значений тока ( ) в режимах до и после резонанса для обеих ВАХ (для  -соответственно рис. 3,а и 3,б; для  -рис. 4,а и 4,б); при этом соответствующие выбранным токам действующие значения напряжений, входящих в (2), взяты из графиков на рис. 2.

Феррорезонанс в параллельной цепи рассмотрим на основе схемы на рис. 5. Для этого, как и в предыдущем случае, строим (см. рис. 6) прямую , определяемую выражением (1).

Далее, поскольку , в соответствии с соотношением  строим результирующую ВАХ  цепи.

Точка  пересечения кривой  с прямой  соответствует феррорезонансу токов. Необходимо отметить, что в реальном случае действительная ВАХ цепи в отличие от теоретической не касается оси ординат, что объясняется наличием высших гармоник тока и неидеальностью катушки индуктивности.

Из построенной ВАХ  видно, что при увеличении тока источника имеет место скачок напряжения. Явление скачкообразного изменения напряжения при изменении входного тока называется триггерным эффектом в параллельной феррорезонансной цепи.

            На рис. 7 для двух (до и после резонанса) значений напряжения ( и ) построены векторные диаграммы; при этом соответствующие выбранным напряжениям действующие значения токов  и взяты из графиков на рис. 6.

            Анализ векторных диаграмм показывает, что в режиме до скачка напряжения ток источника опережает по фазе входное напряжение (рис. 7,а), а после скачка (рис. 7,б) -отстает, т.е. в первом случае нагрузка носит емкостной характер, а во втором-индуктивный. Таким образом, скачок напряжения связан с эффектом опрокидывания фазы.

Аналитические методы расчета

Аналитические методы, в отличие от рассмотренных выше графических, позволяют проводить анализ нелинейной цепи в общем виде, а не для частных значений параметров элементов схемы. В этом заключается их главное преимущество. Однако аппроксимация нелинейной характеристики, лежащая в основе данных методов, изначально обусловливает внесение в расчеты большей или меньшей погрешности. Как и при графическом анализе цепей, при применении аналитических методов используются характеристики нелинейных элементов для мгновенных значений, по первым гармоникам и для действующих значений. При этом для расчета цепей переменного тока наиболее широкое распространение получили следующие аналитические методы:

-метод аналитической аппроксимации;

-метод кусочно-линейной аппроксимации;

-метод гармонического баланса;

-метод эквивалентных синусоид (метод расчета по действующим значениям).

В первых трех случаях обычно используются характеристики нелинейных элементов  для мгновенных значений. Характеристики нелинейных элементов по первым гармоникам используются при применении частного варианта метода гармонического баланса - метода расчета по первым гармоникам. В свою очередь, метод эквивалентных синусоид основан на применении характеристик нелинейных элементов для действующих значений.

Метод аналитической аппроксимации

Данный метод основан на аппроксимации характеристик нелинейных элементов  аналитическими выражениями с последующим аналитическим решением системы нелинейных уравнений состояния цепи. Точность, а с другой стороны, сложность расчета методом аналитической аппроксимации непосредственно зависят от вида принятой аналитической функции, аппроксимирующей характеристику нелинейного элемента. Поэтому ее выбор является важнейшим этапом при анализе цепи данным методом. Как уже отмечалось, для получения большей точности расчета необходимо выбирать аппроксимирующую функцию, наиболее полно соответствующую исходной нелинейной характеристике, что, однако, может привести в общем случае к появлению в уравнениях состояния сложных математических выражений, часто трудно разрешимых (или вообще неразрешимых) аналитически. С другой стороны, принятие чрезмерно простой функции для аппроксимации позволяет достаточно быстро получить результат, однако погрешность расчета может оказаться недопустимо высокой. Таким образом, выбор аппроксимирующей функции во многом зависит от поставленной задачи расчета и требуемой точности его результатов.

Пусть, например, в цепи состоящей из последовательно соединенных источника тока с  и нелинейной катушки индуктивности, заданная графически вебер-амперная характеристика которой может быть аппроксимирована выражением

,

(3)

требуется найти напряжение на индуктивном элементе.

На первом этапе определяем коэффициенты  и  аппроксимирующей функции с учетом того, что рабочий участок заданной графически кривой  ограничен сверху амплитудой А тока в цепи, что сразу дает одну из двух точек аппроксимации.

После этого подставляем в (3) выражение , в результате чего получаем

или, с учетом соотношения

.

Тогда искомое напряжение на катушке индуктивности

.

Литература

1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
2. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.2. Жуховицкий Б.Я., Негневицкий И.Б. Линейные электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи. –М.:Энергия- 1972. –200с.
3. Основы теории цепей: Учеб.  для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

Контрольные вопросы и задачи

1. В чем состоит сущность графического метода расчета с использованием характеристик по первым гармоникам?
2. На чем основан метод эквивалентных синусоид?
3. В каком случае и как метод эквивалентных синусоид можно применять для анализа цепей с инерционными нелинейными элементами?
4. Какие цепи относятся к феррорезонансным?
5. Что называется феррорезонансом напряжений? С помощью чего можно обеспечить данный режим?
6. Что называется феррорезонансом токов? С помощью чего можно обеспечить данный режим?
7. В чем заключается эффект опрокидывания фазы?
8. Как можно экспериментально снять участки 4-6 и 2-5 на рис. 2 и участок 1-3 на рис. 6?
9. Для заданной на рис. 2 кривой  построить зависимость , обеспечивающую скачок тока с увеличением напряжения при заданной величине  последнего. При решении принять .
10. Для заданной на рис. 6 кривой  построить зависимость , обеспечивающую триггерный эффект при заданной величине  тока.