Лекция N27.Операторный метод расчета переходных процессов. |
Сущность операторного метода заключается в том, что функции вещественной переменной t, которую называют оригиналом, ставится в соответствие функция комплексной переменной , которую называют изображением. В результате этого производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений (дифференцирование заменяется умножением на оператор р, а интегрирование – делением на него), что в свою очередь определяет переход от системы интегро-дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных. При решении этих уравнений находятся изображения и далее путем обратного перехода – оригиналы. Важнейшим моментом при этом в практическом плане является необходимость определения только независимых начальных условий, что существенно облегчает расчет переходных процессов в цепях высокого порядка по сравнению с классическим методом. Изображение заданной функции определяется в соответствии с прямым преобразованием Лапласа:
В сокращенной записи соответствие между изображением и оригиналом обозначается, как:
Следует отметить, что если оригинал увеличивается с ростом t, то для сходимости интеграла (1) необходимо более быстрое убывание модуля . Функции, с которыми встречаются на практике при расчете переходных процессов, этому условию удовлетворяют. В качестве примера в табл. 1 приведены изображения некоторых характерных функций, часто встречающихся при анализе нестационарных режимов.
Таблица 1. Изображения типовых функций
Некоторые свойства изображений
. С использованием этих свойств и данных табл. 1, можно показать, например, что
.
Изображения производной и интеграла В курсе математики доказывается, что если , то , где - начальное значение функции . Таким образом, для напряжения на индуктивном элементе можно записать
или при нулевых начальных условиях . Отсюда операторное сопротивление катушки индуктивности . Аналогично для интеграла: если , то . С учетом ненулевых начальных условий для напряжения на конденсаторе можно записать: . Тогда
или при нулевых начальных условиях , откуда операторное сопротивление конденсатора .
Закон Ома в операторной форме Пусть имеем некоторую ветвь (см. рис. 1), выделенную из некоторой
сложной цепи. Замыкание ключа во внешней цепи приводит к переходному процессу, при этом начальные условия для тока в ветви и напряжения на конденсаторе в общем случае ненулевые. Для мгновенных значений переменных можно записать: . Тогда на основании приведенных выше соотношений получим: . Отсюда
где - операторное сопротивление рассматриваемого участка цепи. Следует обратить внимание, что операторное сопротивление соответствует комплексному сопротивлению ветви в цепи синусоидального тока при замене оператора р на . Уравнение (2) есть математическая запись закона Ома для участка цепи с источником ЭДС в операторной форме. В соответствии с ним для ветви на рис. 1 можно нарисовать операторную схему замещения, представленную на рис. 2.
Законы Кирхгофа в операторной форме Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма изображений токов, сходящихся в узле, равна нулю . Второй закон Кирхгофа:алгебраическая сумма изображений ЭДС, действующих в контуре, равна алгебраической сумме изображений напряжений на пассивных элементах этого контура . При записи уравнений по второму закону Кирхгофа следует помнить о необходимости учета ненулевых начальных условий (если они имеют место). С их учетом последнее соотношение может быть переписано в развернутом виде . В качестве примера запишем выражение для изображений токов в цепи на рис. 3 для двух случаев: 1 - ; 2 - . В первом случае в соответствии с законом Ома . Тогда
и . Во втором случае, т.е. при , для цепи на рис. 3 следует составить операторную схему замещения, которая приведена на рис. 4. Изображения токов в ней могут быть определены любым методом расчета линейных цепей, например, методом контурных токов:
откуда ; и .
Переход от изображений к оригиналам Переход от изображения искомой величины к оригиналу может быть осуществлен следующими способами: 1. Посредством обратного преобразования Лапласа , которое представляет собой решение интегрального уравнения (1) и сокращенно записывается, как: . На практике этот способ применяется редко. 2. По таблицам соответствия между оригиналами и изображениями В специальной литературе имеется достаточно большое число формул соответствия, охватывающих практически все задачи электротехники. Согласно данному способу необходимо получить изображение искомой величины в виде, соответствующем табличному, после чего выписать из таблицы выражение оригинала. Например, для изображения тока в цепи на рис. 5 можно записать . Тогда в соответствии с данными табл. 1 , что соответствует известному результату. 3. С использованием формулы разложения Пусть изображение искомой переменной определяется отношением двух полиномов , где . Это выражение может быть представлено в виде суммы простых дробей
где - к-й корень уравнения . Для определения коэффициентов умножим левую и правую части соотношения (3) на ( ): . При . Рассматривая полученную неопределенность типа по правилу Лапиталя, запишем . Таким образом, . Поскольку отношение есть постоянный коэффициент, то учитывая, что , окончательно получаем
Соотношение (4) представляет собой формулу разложения. Если один из корней уравнения равен нулю, т.е. , то уравнение (4) сводится к виду . В заключение раздела отметим, что для нахождения начального и конечного значений оригинала можно использовать предельные соотношения
которые также могут служить для оценки правильности полученного изображения.
Литература
Контрольные вопросы
|