Лекция N22.Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах. |
Предыдущие лекции были посвящены анализу электрических цепей при синусоидальных токах и напряжениях. На практике ЭДС и токи в большей или меньшей степени являются несинусоидальными. Это связано с тем, что реальные генераторы не обеспечивают, строго говоря, синусоидальной формы кривых напряжения, а с другой стороны, наличие нелинейных элементов в цепи обусловливает искажение формы токов даже при синусоидальных ЭДС источников. На практике к несинусоидальности напряжений и токов следует подходить двояко:
В общем случае характер изменения величин может быть периодическим, почти периодическим и непериодическим. В данном разделе будут рассматриваться цепи только с периодическими переменными. Периодическими несинусоидальными величинами называются переменные, изменяющиеся во времени по периодическому несинусоидальному закону. Причины возникновения несинусоидальных напряжений и токов могут быть обусловлены или несинусоидальностью источника питания или (и) наличием в цепи хотя бы одного нелинейного элемента. Кроме того, в основе появления несинусоидальных токов могут лежать элементы с периодически изменяющимися параметрами. В качестве примера на рис. 1,а представлена цепь с нелинейным резистором (НР), нелинейная вольт-амперная характеристика (ВАХ) которого обусловливает несинусоидальную форму тока i в цепи при синусоидальном напряжении u на ее входе (см. рис. 1,б).
Характеристики несинусоидальных величин Для характеристики несинусоидальных периодических переменных служат следующие величины и коэффициенты (приведены на примере периодического тока):
Разложение периодических несинусоидальных Из математики известно, что всякая периодическая функция , где Т – период, удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть разложена в тригонометрический ряд. Можно отметить, что функции, рассматриваемые в электротехнике, этим условиям удовлетворяют, в связи с чем проверку на их выполнение проводить не нужно. При разложении в ряд Фурье функция представляется следующим образом:
Здесь - постоянная составляющая или нулевая гармоника; - первая (основная) гармоника, изменяющаяся с угловой частотой , где Т – период несинусоидальной периодической функции. В выражении (1) , где коэффициенты и определяются по формулам ; .
Свойства периодических кривых, обладающих симметрией Коэффициенты ряда Фурье для стандартных функций могут быть взяты из справочной литературы или в общем случае рассчитаны по приведенным выше формулам. Однако в случае кривых, обладающих симметрией, задача существенно упрощается, поскольку из их разложения выпадают целые спектры гармоник. Знание свойств таких кривых позволяет существенно сэкономить время и ресурсы при вычислениях.
Действующее значение периодической несинусоидальной переменной Как было показано выше, действующим называется среднеквадратичное за период значение величины: . При наличии аналитического выражения функции i(t) и возможности взятия интеграла от ее квадрата действующее значение i(t) определяется точно. Однако в общем случае на практике действующее значение переменной определяется на основе информации о действующих значениях конечного ряда гармонических. Пусть . Тогда
Очевидно, что каждый из интегралов от тригонометрических функций в последнем выражении равен нулю. Таким образом,
или . Аналогичные выражения имеют место для ЭДС, напряжения и т.д.
Мощность в цепях периодического несинусоидального тока Пусть и . Тогда для активной мощности можно записать . Как было показано при выводе соотношения для действующего значения несинусоидальной переменной, среднее за период значение произведения синусоидальных функций различной частоты равно нулю. Следовательно, , где . Таким образом, активная мощность несинусоидального тока равна сумме активных мощностей отдельных гармонических: . Аналогично для реактивной мощности можно записать . Полная мощность , где Т – мощность искажений, определяемая произведениями действующих значений разнопорядковых гармонических тока и напряжения.
Методика расчета линейных цепей при периодических несинусоидальных токах Возможность разложения периодических несинусоидальных функций в ряд Фурье позволяет свести расчет линейной цепи при воздействии на нее несинусоидальных ЭДС (или токов) источников к расчету цепей с постоянными и синусоидальными токами в отдельности для каждой гармоники. Мгновенные значения искомых токов и напряжений определяются на основе принципа наложения путем суммирования найденных при расчете гармонических составляющих напряжений и токов. В соответствии с вышесказанным цепь на рис. 5 при воздействии на нее ЭДС
(при расчете спектр рассматриваемых гармоник ограничивается) в расчетном плане представляется суммой цепей на рис. 6.
Здесь . Тогда, например, для тока в ветви с источником ЭДС, имеем , где каждая к-я гармоника тока рассчитывается символическим методом по своей к-й расчетной схеме. При этом (поверхностный эффект не учитывается) для всех гармоник параметры и С постоянны. ; . Необходимо помнить, что ввиду различия частот суммировать комплексы различных гармоник недопустимо. Таким образом, методика расчета линейных цепей при несинусоидальных токах сводится к следующему:
Литература
Контрольные вопросы
|