Лекция N14.Пассивные четырехполюсники. |
При анализе электрических цепей в задачах исследования взаимосвязи между переменными (токами, напряжениями, мощностями и т.п.) двух каких-то ветвей схемы широко используется теория четырехполюсников. Четырехполюсник – это часть схемы произвольной конфигурации, имеющая две пары зажимов (отсюда и произошло его название), обычно называемые входными и выходными. Примерами четырыхполюсника являются трансформатор, усилитель, потенциометр, линия электропередачи и другие электротехнические устройства, у которых можно выделить две пары полюсов. В общем случае четырехполюсники можно разделить на активные, в структуру которых входят источники энергии, и пассивные, ветви которых не содержат источников энергии. Ниже будут рассмотрены элементы теории пассивных четырехполюсников. Для записи уравнений четырехполюсника выделим в произвольной схеме ветвь с единственным источником энергии и любую другую ветвь с некоторым сопротивлением (см. рис. 1,а).
В соответствии с принципом компенсации заменим исходное сопротивление источником с напряжением (см. рис. 1,б). Тогда на основании метода наложения для цепи на рис. 1,б можно записать
Решая полученные уравнения (1) и (2) относительно напряжения и тока на первичных зажимах, получим ;
или
где ; ; ; - коэффициенты четырехполюсника. Учитывая, что в соответствии с принципом взаимности , видно, что коэффициенты четырехполюсника связаны между собой соотношением
Уравнения (3) и (4) представляют собой основные уравнения четырехполюсника; их также называют уравнениями четырехполюсника в А-форме (см. табл. 1). Вообще говоря, существует шесть форм записи уравнений пассивного четырехполюсника. Действительно, четырехполюсник характеризуется двумя напряжениями и и двумя токами и . Любые две величины можно выразить через остальные. Так как число сочетаний из четырех по два равно шести, то и возможно шесть форм записи уравнений пассивного четырехполюсника, которые приведены в табл. 1. Положительные направления токов для различных форм записи уравнений приведены на рис. 2. Отметим, что выбор той или иной формы уравнений определяется областью и типом решаемой задачи.
Таблица 1. Формы записи уравнений пассивного четырехполюсника
Если при перемене местами источника и приемника энергии их токи не меняются, то такой четырехполюсник называется симметричным. Как видно из сравнения А- и В- форм в табл. 1, это выполняется при . Четырехполюсники, не удовлетворяющие данному условию, называются несимметричными. При практическом использовании уравнений четырехполюсника для анализа цепей необходимо знать значения его коэффициентов. Коэффициенты четырехполюсника могут быть определены экспериментальным или расчетным путями. При этом в соответствии с соотношением (5) определение любых трех коэффициентов дает возможность определить и четвертый. Один из наиболее удобных экспериментальных методов определения коэффициентов четырехполюсника основан на опытах холостого хода и короткого замыкания при питании со стороны вторичных зажимов и опыте холостого хода при питании со стороны первичных зажимов. В этом случае при на основании уравнений (3) и (4)
При
и при
Решение уравнений (6)-(8) относительно коэффициентов четырехполюсника дает:
При определении коэффициентов четырехполюсника расчетным путем должны быть известны схема соединения и величины сопротивлений четырехполюсника. Как было отмечено ранее, пассивный четырехполюсник характеризуется тремя независимыми постоянными коэффициентами. Следовательно, пассивный четырехполюсник можно представить в виде трехэлементной эквивалентной Т- (рис. 3,а) или П-образной (рис. 3,б) схемы замещения. Для определения коэффициентов четырехполюсника для схемы на рис. 3,а с использованием первого и второго законов Кирхгофа выразим и через и :
Сопоставление полученных выражений (9) и (10) с соотношениями (3) и (4) дает:
Данная задача может быть решена и другим путем. При (холостой ход со стороны вторичных зажимов) в соответствии с (3) и (4) и ; но из схемы на рис. 3,а , а ; откуда вытекает: и . При (короткое замыкание на вторичных зажимах) и . Из схемы на рис. 3,а ; . Следовательно, . Таким образом, получены те же самые результаты, что и в первом случае. Коэффициенты четырехполюсника для схемы на рис. 3,б могут быть определены аналогично или на основании полученных для цепи на рис. 3,а с использованием рассмотренных ранее формул преобразования “ звезда-треугольник”. Из вышесказанного можно сделать вывод, что зная коэффициенты четырехполюсника, всегда можно найти параметры Т- и П-образных схем его замещения. На практике часто возникает потребность в переходе от одной формы записи уравнений четырехполюсника к другой. Для решения этой задачи, т.е. чтобы определить коэффициенты одной формы записи уравнений через коэффициенты другой, следует выразить какие-либо две одинаковые величины в этих формулах через две остальные и сопоставить их с учетом положительных направлений токов для каждой из этих форм. Так при переходе от А- к Z-форме на основании (4) имеем
Подстановка соотношения (11) в (3) дает
Сопоставляя выражения (11) и (12) с уравнениями четырехполюсника в Z-форме (см. табл. 1), получим . При анализе работы четырехполюсника на нагрузку удобно использовать понятие входного сопротивления с первичной стороны и коэффициента передачи .Учитывая, что и , для этих параметров можно записать:
Зная , и , можно определить остальные переменные на входе и выходе четырехполюсника: ; ; .
Характеристическое сопротивление и
коэффициент В электросвязи широко используется режим работы симметричного четырехполюсника, при котором его входное сопротивление равно нагрузочному, т.е. . Это сопротивление обозначают как и называют характеристическим сопротивлением симметричного четырехполюсника, а режим работы четырехполюсника, для которого справедливо , называется режимом согласованной нагрузки. В указанном режиме для симметричного четырехполюсника на основании (3) и (4) можно записать
Разделив соотношение (13) на (14), получаем уравнение , решением которого является
С учетом (15) уравнения (13) и (14) приобретают вид ; . Таким образом, , где - коэффициент распространения; - коэффициент затухания (измеряется в неперах); - коэффициент фазы (измеряется в радианах). Одному неперу соответствует затухание по напряжению или току в е=2,718… раз, а по мощности, поскольку для рассматриваемого случая в е2 раз. Запишем уравнение симметричного четырехполюсника с использованием коэффициента распространения. По определению
Тогда
Решая (17) и (18) относительно и , получим и . Учитывая, что
и , получаем уравнения четырехполюсника, записанные через гиперболические функции:
Литература
Контрольные вопросы и задачи
|